historia

Álgebra como una rama de las matemáticas Álgebra esencialmente puede ser considerado como hacer cálculos similares a la de la aritmética con objetos matemáticos no numéricos. [ 1 ] Inicialmente, estos objetos representados ya sea números que aún no se conocían ( incógnitas ) o números no especificados ( indeterminados o parámetros ), que permite a uno Estado y probar las propiedades que son ciertas, no importa qué números están involucrados. Por ejemplo, en la ecuación de segundo grado ax ^ 2 + bx + c = 0, A, B, Cson indeterminados y xes lo desconocido. Resolviendo esta ecuación asciende a computar con las variables para expresar las incógnitas en términos de los indeterminados. Entonces, sustituyendo los números de los indeterminados, da la solución de una ecuación particular, después de un sencillo cálculo aritmético. Como se desarrolló, el ​​álgebra se extendió a otros objetos que no son numéricos, como vectores , matrices o polinomios . A continuación, las propiedades estructurales de estos objetos no numéricos se resumieron para definir estructuras algebraicas como grupos , anillos , campos y álgebras . Antes del siglo 16, las matemáticas se dividió en dos sub-campos, la aritmética y la geometría . A pesar de que algunos de los métodos que se habían desarrollado mucho antes, pueden ser considerados hoy en día como el álgebra, la aparición del álgebra y, poco después, del cálculo infinitesimal como sub-campos de la matemática sólo data del siglo 16 o 17. Desde la segunda mitad del siglo 19 en adelante, muchos de los nuevos campos de las matemáticas aparecieron, algunos de ellos incluidos en el álgebra, ya sea total o parcialmente. De ello se desprende que el álgebra, en lugar de ser una verdadera rama de las matemáticas, aparece hoy en día, a ser una colección de ramas que comparten métodos comunes. Esto se ve claramente en el Mathematics Subject Classification [ 2 ] en donde ninguna de las áreas de primer nivel (dos entradas dígitos) se llama el álgebra . De hecho, el álgebra es, en términos generales, la unión de las secciones de los sistemas de 08-Generales algebraicas, 12 - Teoría del Campo y polinomios , 13 - álgebra conmutativa , 15 - lineales y álgebra multilineal ; teoría de matrices , 16 - Anillos y álgebras asociativos , 17 - anillos no asociativas y álgebras , 18 - la teoría de categorías , álgebra homological , 19 - K-teoría y 20 - La teoría de grupos . Algunas otras áreas de primer nivel se puede considerar que pertenecen parcialmente al álgebra, como 11 - Teoría de los números (sobre todo para la teoría algebraica de números ) y 14 - La geometría algebraica . Álgebra elemental es la parte del álgebra que se enseña generalmente en los cursos elementales de matemáticas. Resumen álgebra es un nombre general dado a el estudio de las propias estructuras algebraicas. Etimología La palabra álgebra proviene de la lengua árabe ( الجبر al-Jabr "restauración") del título del libro Ilm al-Jabr wa l-muḳābala por al-Khwarizmi . La palabra entró en el idioma Inglés durante Late Inglés medio , ya sea español, italiano o latín medieval . Algebra se refería originalmente a un procedimiento quirúrgico, y todavía está en español, mientras que el sentido matemático fue un desarrollo posterior. [ 3 ] Historia Artículo principal: Historia del álgebra y la línea de tiempo del álgebra El inicio de álgebra como un área de las matemáticas puede ser fechado a finales del siglo 16, con François Viète trabajo 's. Hasta el siglo 19, el álgebra consistía esencialmente en la teoría de las ecuaciones . Por ejemplo, el teorema fundamental del álgebra pertenece a la teoría de ecuaciones y no es, en la actualidad, considerada como perteneciente al álgebra (cada prueba requiere el uso de alguna propiedad topológica de los números reales). En lo que sigue, "Prehistoria del álgebra" es acerca de los resultados de la teoría de las ecuaciones que preceden a la aparición del álgebra como un área de las matemáticas, e "Historia del álgebra" esboza el desarrollo del álgebra desde Viète. Prehistoria del álgebra Una página de Al-Khwarizmi 's al-Kitab al-muḫtaṣar fî Hisab al-Gabr wa-l-muqabala Las raíces del álgebra se remontan a los antiguos babilonios , [ 4 ] que desarrolló un sistema de aritmética avanzada con la que fueron capaces de hacer cálculos en una algorítmica moda. Los babilonios desarrollaron fórmulas para el cálculo de soluciones para los problemas suelen resolverse hoy mediante el uso de ecuaciones lineales , ecuaciones cuadráticas y ecuaciones lineales indeterminadas . Por el contrario, la mayoría de los egipcios de esta época, así como griego y matemáticas chinas en el primero milenio antes de Cristo , por lo general resolver tales ecuaciones por métodos geométricos, tales como los descritos en el papiro matemático de Rhind , de Euclides Elementos y Los Nueve Capítulos sobre la Matemática Arte . La obra geométrica de los griegos, tipificado en el Elementos , sirvió de marco para la generalización de las fórmulas más allá de la solución de problemas específicos en los sistemas más generales de afirmar y de resolución de ecuaciones, aunque esto no se dio cuenta hasta que las matemáticas desarrolladas en el Islam medieval . [ 5 ] En la época de Platón , las matemáticas griegas habían sufrido un cambio drástico. Los griegos crearon un álgebra geométrica donde términos fueron representados por partes de objetos geométricos, generalmente líneas, que tenían letras asociadas con ellos. [ 1 ] Diofanto (siglo tercero dC), a veces llamado "el padre del álgebra", fue una de Alejandría matemático griego y el autor de una serie de libros llamada Aritmética . Estos textos tratan de resolver ecuaciones algebraicas . [ 6 ] Tradiciones anteriores discutidas anteriormente tenían una influencia directa sobre Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi (c. 780-850). Más tarde escribió El libro compendio de Cálculo por Terminación y Equilibrio , que estableció el álgebra como una disciplina matemática que es independiente de la geometría y la aritmética . [ 7 ] El helenísticos matemáticos Herón de Alejandría y Diofanto [ 8 ] , así como los matemáticos indios , como Brahmagupta siguieron las tradiciones de Egipto y Babilonia, aunque Diofanto Arithmetica y de Brahmagupta Brahmasphutasiddhanta están en un nivel superior. [ 9 ] Por ejemplo, la primera aritmética completa solución (incluyendo el cero y soluciones negativas) para ecuaciones de segundo grado fue descrito por Brahmagupta en su libro Brahmasphutasiddhanta . Más tarde, árabes y musulmanes matemáticos desarrollaron métodos algebraicos a un grado mucho más alto de sofisticación. Aunque Diofanto y los babilonios usaron mayormente especiales ad hoc métodos para resolver ecuaciones, la contribución de Al-Khwarizmi fue fundamental. Él resuelve ecuaciones lineales y cuadráticas sin simbolismo algebraico, los números negativos o cero , por lo tanto él tiene que distinguir varios tipos de ecuaciones. [ 10 ] El griego matemático Diofanto tradicionalmente se ha conocido como el "padre del álgebra", pero en tiempos más recientes, hay mucho debate sobre si al-Khwarizmi, que fundó la disciplina de Al-Jabr , merece ese título en su lugar. [ 11 ] Los que apoyan Diofanto apuntan al hecho de que el álgebra que se encuentra en Al-Jabr es algo más elemental que el álgebra se encuentra en Arithmetica y que Arithmetica es sincopado, mientras que Al-Jabr es totalmente retórica. [ 12 ] Los que apoyan el punto de Al-Khwarizmi sobre el hecho de que él introdujo los métodos de " reducción "y" equilibrio "(la transposición de términos restados al otro lado de la ecuación, es decir, la cancelación de términos como en los lados opuestos de la ecuación) que el término al-Jabr se refería originalmente a , [ 13 ] y que ha dado una explicación exhaustiva de la solución de ecuaciones cuadráticas, [ 14 ] con el apoyo de pruebas geométricas, mientras que el tratamiento de álgebra como disciplina independiente en su propio derecho. [ 15 ] Su álgebra fue también ya no se preocupa "con una serie de los problemas por resolver, sino una exposición que se inicia con términos primitivos en los que las combinaciones deben dar todos los prototipos posibles de ecuaciones, que constituyen a partir de ahora de forma explícita el verdadero objeto de estudio ". También estudió una ecuación para su propio bien y "de forma genérica, en la medida en que no sólo surgen en el curso de la solución de un problema, pero se hizo un llamamiento específico a definir una clase infinita de problemas". [ 16 ] El matemático persa Omar Khayyam se acredita con la identificación de los fundamentos de la geometría algebraica y encontró la solución geométrica general de la ecuación cúbica . Otro matemático persa, Sharaf al-Din al-Tusi , encontró algebraica y soluciones numéricas a diversos casos de ecuaciones cúbicas. [ 17 ] Él también desarrolló el concepto de una función . [ 18 ] Los matemáticos indios Mahavira y Bhaskara II , el matemático persa Al-Karaji , [ 19 ] y el matemático chino Zhu Shijie , resuelto varios casos de cúbica, cuártica , de quinto grado y de orden superior polinómicas ecuaciones utilizando métodos numéricos. En el siglo 13, la solución de una ecuación cúbica de Fibonacci es representativo del comienzo de un renacimiento en álgebra Europea. A medida que el mundo islámico estaba en declive, el mundo europeo estaba ascendiendo. Y es aquí que el álgebra se desarrolló aún más. Historia del álgebra En 1545, el matemático italiano Girolamo Cardano publicó Ars magna - El gran arte , una obra maestra de 40 capítulos en los que se dio por primera vez un método para resolver los generales cúbicos y ecuaciones de cuarto grado . François Viète trabajo 's al final del siglo 16 marca el inicio de la disciplina clásica del álgebra. En 1637, René Descartes publicó La Géométrie , inventando la geometría analítica y la introducción de la notación algebraica moderna. Otro acontecimiento clave en el desarrollo del álgebra fue la solución algebraica general de las ecuaciones de tercer y cuarto grado, desarrollado en el siglo de mid-16th. La idea de un factor determinante fue desarrollada por el matemático japonés Kowa Seki en el siglo 17, seguido independientemente por Gottfried Leibniz diez años más tarde, a los efectos de los sistemas de ecuaciones lineales simultáneas resolver usando matrices . Gabriel Cramer también hizo un trabajo sobre matrices y determinantes en el siglo 18. Permutaciones fueron estudiados por Joseph-Louis Lagrange en sus 1770 papel Réflexions sur Resolución del La algébrique des ecuaciones dedicadas a soluciones de ecuaciones algebraicas, en la que se introdujo resolventes Lagrange . Paolo Ruffini fue la primera persona a desarrollar la teoría de grupos de permutaciones , y como su predecesores, también en el contexto de la resolución de ecuaciones algebraicas. Resumen de álgebra se desarrolló en el siglo 19, que nace del interés en la solución de ecuaciones, centrándose inicialmente en lo que ahora se llama la teoría de Galois , y en constructibilidad cuestiones. [ 20 ] La " álgebra moderna "tiene profundas raíces en el siglo XIX en el trabajo, por ejemplo, de Richard Dedekind y Kronecker Leopold y profundas interconexiones con otras ramas de las matemáticas como la teoría algebraica de números y geometría algebraica . [ 21 ] George Peacock fue el fundador del pensamiento axiomático en la aritmética y el álgebra. Augustus De Morgan descubrió relación álgebra en su Programa de un sistema propuesto de la Lógica . Josiah Willard Gibbs desarrolló un álgebra de vectores en el espacio tridimensional, y Arthur Cayley desarrolló un álgebra de matrices (este es un álgebra no conmutativa).